Question

已知函数f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx-

1

2

cos2x，x∈R．
（I）求f（x）的最小正周期和值域；
（II）若x0(0≤x0≤

π

2

)为f（x）的一个零点，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析：（I）先由倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式，代入周期公式求出函数的最小正周期，再由正弦函数的最值求出此函数的最值，再求出函数的值域；
（II）由函数零点的定义求出sin(2x0-

π

6

)，再由x₀的范围求出“2x0-

π

6

”的范围，再由sin(2x0-

π

6

)的符号进一步缩小“2x0-

π

6

”的范围，由平方关系求出cos(2x0-

π

6

)，再把2x₀表示成“(2x0-

π

6

)+

π

6

”，利用两角和的正弦公式化简求值．

解答：解：（I）由题意得，f(x)=

1-cos2x

2

+

3

sin2x-

1

2

cos2x
=

3

sin2x-cos2x+

1

2

=2sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
∴f（x）的最小正周期为π，且最大值为2+

1

2

=

5

2

，最小值为-2+

1

2

=-

3

2

，
，则f（x）的值域为[-

3

2

，  

5

2

]，
（II）由f(x0)=2sin(2x0-

π

6

)+

1

2

=0得，
sin(2x0-

π

6

)=-

1

4

＜0，
又由0≤x0≤

π

2

得，-

π

6

≤2x0-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

π

6

≤2x0-

π

6

≤0，
∴cos(2x0-

π

6

)=

1-sin2(2x0- π 6 )

=

15

4

，
sin2x₀=sin[(2x0-

π

6

)+

π

6

]=sin(2x0-

π

6

)cos

π

6

+cos(2x0-

π

6

)sin

π

6

=-

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

15 - 3

8

．

点评：本题考查了正弦函数的性质，三角恒等变换中的一些公式应用，关键是要把解析式化为y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再求三角函数值时注意角之间的关系，以及三角函数值的符号问题．