Question

定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）的单调增区间为（-1，1），若方程3a（f（x））²+2bf（x）+c=0恰有4个不同的实根，则实数a的值为．（　　）

• A、

  1

  2

• B、-

  1

  2

• C、1
• D、-1

Answer 1

分析：根据函数的单调区间求出a，b，c的关系，然后利用导数研究三次函数的极值，利用数形结合即可得到a的结论．

解答：解：∵函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）的单调增区间为（-1，1），
∴f'（x）＞0的解集为（-1，1），
即f'（x）=3ax²+2bx+c＞0的解集为（-1，1），
∴a＜0，且x=-1和x=1是方程f'（x）=3ax²+2bx+c=0的两个根，
即-1+1=-

2b

3a

=0，-1×1=

c

3a

=-1，
解得b=0，c=-3a．
∴f（x）=ax³+bx²+cx=ax³-3ax=ax（x²-3），
则方程3a（f（x））²+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））²-3a=0，
即（f（x））²=1，即f（x）=±1．
要使方程3a（f（x））²+2bf（x）+c=0恰有4个不同的实根，即f（x）=±1．各有2个不同的根，
即函数f（x）的极值等于±1，
∵f（x）=ax³+bx²+cx=ax³-3ax=ax（x²-3），
∴f'（x）=3ax²-3a=3a（x²-1），
∵a＜0，
∴当f'（x）＞0得-1＜x＜1，此时函数单调递增，
当f'（x）＜0得x＜-1或x＞1，此时函数单调递减，
∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=-2a，
当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=2a，
由f（1）=-2a=1且f（-1）=2a=-1得，a=-

1

2

，
故选：B．

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．利用导数研究函数的极值是解决本题的突破点．