Question

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂,a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-.

（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较与S_n+1的大小，并说明理由.

Answer 1

（1）a_n=2n-1，b_n=（2）n≥4时，＞S_n+1.

解析:

1）由已知得,

又∵{a_n}的公差大于0，∴a₅＞a₂,∴a₂=3,a₅=9.

∴d= ==2，a₁=1.∴a_n=2n-1.                                                              2分

∵T_n=1-b_n，∴b₁=，

当n≥2时，T_n-1=1-b_n-1,

∴b_n=T_n-T_n-1=1-b_n-(1-b_n-1),

化简，得b_n=b_n-1,

∴{b_n}是首项为,公比为的等比数列，

即b_n=·=,                                                                                               4分

∴a_n=2n-1，b_n=.                                                                                                     5分

(2)∵S_n==n²,

∴S_n+1=（n+1）²，=.                                                                                      6分

以下比较与S_n+1的大小：

当n=1时，=，S₂=4，∴＜S₂,

当n=2时，=,S₃=9,∴＜S₃,

当n=3时，=,S₄=16,∴＜S₄,

当n=4时，=,S₅=25,∴＞S₅.

猜想：n≥4时，＞S_n+1.                                                                                       8分

下面用数学归纳法证明：

①当n=4时，已证.

②假设当n=k (k∈N^*,k≥4)时，＞S_k+1,即＞(k+1)².

那么n=k+1时，

==3·＞3(k+1)²=3k²+6k+3

=(k²+4k+4)+2k²+2k-1＞［(k+1)+1］²

=S_(k+1)+1,

∴n=k+1时，＞S_n+1也成立.                                                                               11分

由①②可知n∈N^*,n≥4时，＞S_n+1都成立.                                                          14分

综上所述，当n=1,2,3时，＜S_n+1,

当n≥4时，＞S_n+1.                                                                                               16分