Question

【题目】已知、为椭圆（）和双曲线的公共顶点，、分为双曲线和椭圆上不同于、的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、.

（1）求证：点、、三点共线；

（2）求的值；

（3）若、分别为椭圆和双曲线的右焦点，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由，得到，由此可证明出点、、三点共线；

（2）设点、，求出，，由，可得出，从而可求出的值；

（3）由，可得，再由，得出，，由此能求出的值.

（1）、为椭圆和双曲线的公共顶点，

、分别为双曲线和椭圆上不同于、的动点，

且，即，即，

因此，点、、三点共线；

（2）设点、，

则，

同理可得，

，，则，因此，；

（3），，

，，又，解得，

又，，则，则.

，，

同理可得，

且，，，

同理可得，

因此，.