Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D,E分别是AB，BB₁的中点

（Ⅰ）证明：BC₁//平面A₁CD;

（Ⅱ）设AA₁=AC=CB=2，AB=，求三棱锥C一A₁DE的体积.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）三棱锥C一A₁DE的体积．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：BC₁//平面A₁CD，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，注意到D,分别是AB，的中点，可考虑利用三角形的中位线平行，连结交于点F，则F为中点，连结DF，则∥DF，从而可证；（Ⅱ）求三棱锥C一A₁DE的体积．求体积，关键是找高，由已知=2，，可知三角形是等腰直角三角形，又因为是直三棱柱，则，即为高，有平面几何知识可得是直角三角形，可求得面积，从而可得体积．

试题解析：（Ⅰ）连结交于点F，则F为中点，又D是AB中点，连结DF，则∥DF

因为所以∥平面

(Ⅱ)因为是直三棱柱，所以，,由已知AC=CB，D为AB的中点，所以,又,于是.由=2，得

, ,,E=3，

故,，所以  （12分)

考点：线面平行的判定，几何体的体积．