Question

已知函数F(x)=

1

3

ax3-bx2+cx+d(a≠0)的图象过原点，f（x）=F′（x），g（x）=f′（x），f（1）=0，函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）若y=F（x）在x=-1处取得极大值2，求函数y=F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若使g（x）=0的x值满足x∈[-

1

2

，

1

2

]，求线段AB在x轴上的射影长的取值范围．

Answer 1

∵F（x）的图象过原点，∴d=0．
又f（x）=F'（x）=ax²-2bx+c，f（1）=0，，∴a+c=2b．…①…（2分）
（Ⅰ）由y=F（x）在x=-1处取得极大值2知：f（-1）=a+2b+c=0，…②
F(-1)=-

1

3

a-b-c=2，…③…（4分）
由①②③得a=3，b=0，c=-3，
∴F（x）=x³-3x．…（5分）
由f（x）=3x²-3≥0，得x≥1或x≤-1；由f（x）=3x²-3≤0，得-1≤x≤1．
∴F（x）的单调递减区间为[-1，1]，单调递增区间为（-∞，-1]和[1，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）f（x）=ax²-2bx+c=ax²-（a+c）x+c，，g（x）=2ax-2b=2ax-（a+c），
由

y=ax2-(a+c)x+c y=2ax-(a+c)

，得ax²-（3a+c）x+a+2c=0．…（8分）
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=

3a+c

a

=3+

c

a

，x1x2=

a+2c

a

=1+2•

c

a

，
∴线段AB在x轴上的射影长m=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( c a -1)2+4

．…（9分）
由g(x)=0，得x=

1

2

(1+

c

a

)．由x∈[-

1

2

，

1

2

]得-2≤

c

a

≤0．…（（10分）
∴当

c

a

=-2时，m取最大值

13

；当

c

a

=0时，m取最小值

5

，
∴

5

≤m≤

13

．…（12分）