题目内容
关于平面向量
，
，
，有下列命题：①
-
=0②|
|-|
|＜|
-
|；③
-
不与
垂直；④非零向量
和
满足|
|=|
|=|
-
|，则
与
-
的夹角为60°．其中真命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】分析：由于 （
•
）
表示一个与
平行的向量，而（
•
）
表示一个与
平行的向量，故①不一定成立．
当
=
时，②不成立．
根据[（
•
）
-（
•
）
]•
=0，得到（
•
）
-（
•
）
与
垂直，故③不正确．
④由非零向量
和
满足|
|=|
|=|
-
|，可得向量
和
、
这三个向量构成一个等边三角形，故④正确．
解答：解：由于 （
•
）
表示一个与
平行的向量，而（
•
）
表示一个与
平行的向量，而
与
的大小方向都不确定，
故①不一定成立．
当
=
时，|
|-|
|=|
-
|=0，故②不成立．
[（
•
）
-（
•
）
]•
=（
•
）•（
•
）-（
•
）•（
•
）=0，故（
•
）
-（
•
）
与
垂直，
故③不正确．
④非零向量
和
满足|
|=|
|=|
-
|，∴向量
和
、
这三个向量构成一个等边三角形，
则
与
+
的夹角为30°，故④正确．
故选A．
点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，正确利用两个向量运算的
几何意义，是解题的难点．
•
）
表示一个与
平行的向量，而（
•
）
表示一个与
平行的向量，故①不一定成立．当
=
时，②不成立．根据[（
•
）
-（
•
）
]•
=0，得到（
•
）
-（
•
）
与
垂直，故③不正确．④由非零向量
和
满足|
|=|
|=|
-
|，可得向量
和
、
这三个向量构成一个等边三角形，故④正确．解答：解：由于 （
•
）
表示一个与
平行的向量，而（
•
）
表示一个与
平行的向量，而
与
的大小方向都不确定，故①不一定成立．
当
=
时，|
|-|
|=|
-
|=0，故②不成立．[（
•
）
-（
•
）
]•
=（
•
）•（
•
）-（
•
）•（
•
）=0，故（
•
）
-（
•
）
与
垂直，故③不正确．
④非零向量
和
满足|
|=|
|=|
-
|，∴向量
和
、
这三个向量构成一个等边三角形，则
与
+
的夹角为30°，故④正确．故选A．
点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，正确利用两个向量运算的
几何意义，是解题的难点．
练习册系列答案
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，
，
，有下列几个命题：
，则
或
；
与
均为单位向量，它们的夹角为60°，则
；
，
，
满足
，
，则
与
的夹角为120°；
，
，则
在
方向上的投影是-1．
，
，
．有下列三个命题：
•
=
•
，则
=
．
=（1，k），
=（-2，6），
∥
，则k=-3．
和
满足|
|=|
|=|
-
|，则
与
+
的夹角为60°．
，
，
，有下列三个命题：
•
=
•
，则
=
、
=（1，k），
=（-2，6），
∥
，则k=-3．
和
满足|
|=|
|=|
-
|，则
与
+
的夹角为60°．
，
，
，有下列三个命题：
•
=
•
，则
=
、
=（1，k），
=（-2，6），
∥
，则k=-3．
和
满足|
|=|
|=|
-
|，则
与
+
的夹角为60°．
，
，
，有下列三个命题：
•
=
•
，则
=
、
=（1，k），
=（-2，6），
∥
，则k=-3．
和
满足|
|=|
|=|
-
|，则
与
+
的夹角为60°．