Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

1

2

，S_n=n²a_n-7n（n-1）
（1）证明：数列{

n+1

n

S_n}是等差数列，并求S_n；
（2）设|S_n|的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，转化为等差数列即可得出．
（2）利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答：（1）证明：由S_n=n²a_n-7n（n-1），
当n≥2时，S_n=n²（S_n-S _n-1）-7n（n-1），
∴整理得出（n²-1）S_n-n²S_n-1=7（n²-n），
两边同除以n²-n整理得

n+1

n

S_n-

n

n-1

S_n-1=7，
∴数列{

n+1

n

S_n}是等差数列，公差为7，首项为2S₁=2a₁=1．
其通项公式为

n+1

n

S_n=1+7（n-1）=7n-6，
∴S_n=

(7n-6)•n

n+1

．
（2）解：由（1）可得Sn=7n-13+

13

n+1

＞0，
∴T_n=7×

n(n+1)

2

-13n+13(

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)．

点评：本题考查了“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”、等差数列的通项公式及前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．