Question

已知△ABC中，M是BC的中点，AM=

7

，设内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且

cosA

cosC

=

3 a

2b- 3 c

．
（1）求角A的大小；
（2）若角B=

π

6

，求△ABC的面积；
（3）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理将边化角，再利用和角的正弦公式，即可求得结论；
（2）利用余弦定理求出AC，BC，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）延长AM至D，使得MD=AM，设AB=x，AC=y，利用余弦定理确定x，y之间的关系，再利用基本不等式，三角形的面积公式，即可求得结论．

解答：解：（1）∵

cosA

cosC

=

3 a

2b- 3 c

，
∴

cosA

cosC

=

3 sinA

2sinB- 3 sinC

∴2cosAsinB-

3

cosAsinC=

3

sinAcosC
∴2cosAsinB=

3

sin(A+C)
∴cosA=

3

2

∵0＜A＜π
∴A=

π

6

；
（2）设CM=x，则AC=2x，
在△AMC中，7=x²+4x²-2x•2x•cos∠ACM
∴x=1
∴AC=BC=2
∴S_△ABC=

1

2

×2×2×sin120°=

3

；
（3）延长AM至D，使得MD=AM
设AB=x，AC=y，则28=x²+y²-2xycos150°=x²+y²+

3

xy≥(2+

3

)xy
∴xy≤

28

2+ 3

=28（2-

3

）
∴S_△ABC=S_△ACD=

1

2

xysin150°=

1

4

xy≤7（2-

3

）
∴x=y时，△ABC面积的最大值为7（2-

3

）．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形的面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．