Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=n2+2n（其中n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；  
（2）设bn=an•23n-3，求数列{b_n}的前n项的和．

Answer 1

分析：（1）①当n=1时，a₁=S₁；②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．即可得出a_n．
（2）利用“错位相减法”即可得出．

解答：解：（1）①当n=1时，a₁=S₁=1+2=3；
②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．
上式对于n=1时也成立．
综上：a_n=2n+1．
（2）由题意得：bn=(2n+1)•23n-3=（2n+1）•8^n-1．
设数列{b_n}的前n项的和为T_n．
则T_n=3×1+5×8+7×8²+…+（2n+1）•8^n-1．
∴8T_n=3×8+5×8²+…+（2n-1）•8^n-1+（2n+1）•8ⁿ，
两式相减得-7T_n=3+2×8+2×8²+…+2×8^n-1-（2n+1）•8ⁿ
=1+2×（1+8+8²+…+8^n-1）-（2n+1）•8ⁿ
=1+2×

8n-1

8-1

-（2n+1）•8ⁿ=1+

2

7

(8n-1)-(2n+1)•8n
=

5

7

-

14n+5

7

•8n．
∴Tn=

(14n+5)•8n-5

49

．

点评：本题考查了an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本方法，属于中档题．