Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁₌a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．

（1）当a=2时，写出a₁，a₂，a₃．

（2）设b_n=，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：

数列递推式．

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

（1）利用a₁=2，a_n+1=S_n+3ⁿ，代入计算可得结论；

（2）根据a_n+1=S_n+3ⁿ，可得S_n+1﹣S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，而b_n=S_n﹣3ⁿ，因此可得数列{b_n}是等比数列，利用等比数列通项公式的求法，即可确定结论．

解答：

解：（1）∵a₁=2，a_n+1=S_n+3ⁿ，

∴a₂=2+3=5，a₃=2+5+9=16；

（2）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，

∴S_n+1﹣S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ

∵b_n=，

∴==2

∴{b_n}为等比数列，公比为2．

又a≠3，∴b₁=S₁﹣3=a﹣3≠0，

∴b_n=（a﹣3）•2^n﹣1．

点评：

本题中用构造法求数列的通项，是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法，属于中档题．