Question

已知f（x）是定义在R的奇函数，且f(2x)=

a•4x-a2

4x+1

，（a≠0）．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x），并求出定义域；
（2）设g(x)=log

2

k

k •(1-x)

，若不等式f^-1（x）≥g（x）的解集为非空数集，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，可先由换元法求出f（x）的解析式，由于函数是一个奇函数，可得f（x）+f（-x）=0，由此方程求出参数，再求出反函数f^-1（x），及定义域；
（2）不等式f^-1（x）≥g（x）的解集为非空数集，

解答：解：（1）由题意f(2x)=

a•4x-a2

4x+1

，令t=2x，代入得f（t）=

a•2t-a2

2t+1

，即f（x）=

a•2x-a2

2x+1

又f（x）是定义在R的奇函数，
∴f（x）+f（-x）=0，即

a•2x-a2

2x+1

+

a•2-x-a2

2-x+1

=0解得a•2^x-a²+a-a²•2^x=0恒成立，故有a=a²，又 a≠0，可得a=1
∴f（x）=

2x-1

2x+1

，令y=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，解得x=log2

1+y

1-y

∴f^-1（x）=log2

1+x

1-x

，
由于y=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

∈（-1，1），故f^-1（x）=log2

1+x

1-x

的定义域是（-1，1），
（2）由题意得log2

1+x

1-x

≥log

2?

k?

k? •(1-x)

有解，即

1+x

1-x

≥

k

k•(1-x)2

有解
由（1）定义域是（-1，1），故可得1+x≥

1

1+x

解恒成立，与K的值无关
又

k?

k? •(1-x)

＞0，可知k＞0
综上，符合条件的实数k的取值范围是k＞0

点评：本题考查了反函数的求法，求外层函数的解析式及对数不等式有根的问题，综合性强，熟练掌握对数的运算性质，反函数的求法是解本题的关键，本题的难点是解f^-1（x）的解析式，本题是一个能力型题，考查了转化的思想，运算能力及推理判断的能力