Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的两焦点分别为F₁、F₂，以F₁、F₂为边作等边三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（　　）

• A．4(2-

  3

  )
• B．

  3

  -1
• C．

  1

  2

  (

  3

  +1)
• D．

  1

  4

  (

  3

  +2)

Answer 1

分析：由△PF₁F₂为正三角形可得∠PF₁F₂=∠PF₂F₁=60°，则可求直线PF₁，PF₂的斜率，进而可求所在的直线方程，其交点，而PF₁中点M在椭圆上，代入椭圆的方程，结合b²=a²-c²及0＜e＜1可求

解答：解：由△PF₁F₂为正三角形可得∠PF₁F₂=∠PF₂F₁=60°
则直线PF₁，PF₂的斜率分别为

3

，-

3

则直线PF₁，PF₂所在的直线方程分别为y=

3

(x+c)，y=-

3

(x-c)，
其交点P（0，

3

c），而PF₁中点M（-

1

2

c，

3

2

c）在椭圆上，代入椭圆的方程可得

c2

4a2

+

3c2

4b2

=1
整理可得，c²（a²-c²）+3c²a²=4a²（a²-c²）
∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0
两边同时除以a⁴可得，e⁴-8e²+4=0
∵0＜e＜1
∴e2=4-2

3

，e2=2+

3

（舍）
∴e=2-

3

故选：B

点评：本题主要考查了利用直线与椭圆的相交关系的应用，椭圆离心率的求解，解题的关键是要题目中的三角形得到直线的斜率进而求出直线方程．