题目内容
已知函数f（x）的图像在[a，b]上连续不断，定义： 
，
，其中min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a），对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f1（x），f2（x）的表达式；
（2）已知函数f（x）=x2，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；
（3）已知
，函数f（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围
，
，其中min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a），对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f1（x），f2（x）的表达式；
（2）已知函数f（x）=x2，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；
（3）已知
，函数f（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围解：（1 ）由题意可得：
，
。
（2）
，
，
当
时，
∴ k≥1-x,k≥2
当
时，1≤k(x+1),∴k≥
,∴k≥1
当
时，x2≤k(x+1)∴k≥
，
。
即存在
，使得
是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。
（3）
，令
得
或
。
的变化情况如下：
令f（x）=0得x=0或x=3。
（i）当b≤2时，f（x）=在[0,b]上单调递增，
因此，
，
。
因为
是[0,b]上的”，
所以，①
对x∈[0,b]恒成立；
②存在x∈[0,b]，使得
成立。
①即：
对x∈[0,b]恒成立，
由
解得0≤x≤1或x≥2。
要使
对x∈[0,b]恒成立，需且只需
。
②即：存在x∈[0,b]，使得
成立。
由
解得
或
。
所以，只需
。
综合①②可得
。
（i i ）当
时，f（x）在[0,2]上单调递增，在[2,b]上单调递减，
因此，
，
，
，
显然当x=0时，
不成立。
（i i i）当
时，f（x）在[0,2]上单调递增，在[2,b]上单调递减，
因此，
，
，
，
显然当x=0时，
不成立。
综合（i）（i i）（i i i）可得：
。
练习册系列答案
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（2011•焦作一模）已知函数f（x）的图象过点（已知函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4，则下列表示大小关系的式子正确的是（ ）
| A、f（2a）＜f（3）＜f（log2a） | B、f(3)＜f(log2a)＜f(2a) | C、f(log2a)＜f(3)＜f(2a) | D、f(log2a)＜f(2a)＜f(3) |