Question

设数{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，数列{b_n}满足a₁=b₁，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，n∈N^*
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

bn

an

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，
a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁．
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以a_n=3^n-1．
由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，所以b_n+1-b_n=2．
则数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
则b_n=1+（n-1）•2=2n-1
（Ⅱ）因为 cn=

bn

an

=

2n-1

3n-1

，所以 Tn=

1

30

+

3

31

+

5

32

++

2n-1

3n-1

．
则

1

3

Tn=

1

31

+

3

32

+

5

32

++

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，
两式相减得：

2

3

Tn=1+

2

3

+

2

32

++

2

3n-1

-

2n-1

3n

．
所以 Tn=3-

1

2•3n-2

-

2n-1

2•3n-1

=3-

n+1

3n-1

．