Question

已知圆C：(x－3)²＋(y－4)²＝4，直线l₁过定点A(1，0)．

(1) 若l₁与圆相切，求l₁的方程；

(2) 若l₁与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：(1) ①若直线l₁的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．

②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.

以下同解法1.

(解法3)用几何法

连结CA并延长交l₂于点B，k_AC＝2，kl₂＝－，

∴CB⊥l₂.如图所示，△AMC∽△ABN，则

可得AM·AN＝AC·AB＝2·＝6，是定值．