题目内容

已知函数f（x）=
k2x+k(1-a2) ， x≥0
x2+(a2-4a)x+(3-a)2， x＜0
，其中a∈R．若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，则k的取值范围是
（-∝，0）∪[8，+∝）
（-∝，0）∪[8，+∝）
．
分析：由于函数f（x）是分段函数，且对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，得到x=0时，f（x）=k（1-a2），进而得到，关于a的方程（3-a）2=k（1-a2）有实数解，即得△≥0，解出k即可．
解答：解：由于函数f（x）=
k2x+k(1-a2) ， x≥0
x2+(a2-4a)x+(3-a)2， x＜0
，其中a∈R，
则x=0时，f（x）=k（1-a2），
又由对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立
∴函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，
∴（3-a）2=k（1-a2）（k≠0）即（k+1）a2-6a+9-k=0有实数解，
所以△=62-4（k+1）（9-k）≥0，解得k＜0或k≥8
故答案为 （-∞，0）∪[8，+∞）．
点评：本题考查了二次函数的性质，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．
已知函数f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．
已知函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求实数k，a的值；
（2）若函数g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
（2012•芜湖二模）给出以下五个命题：
①命题“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函数f（x）=k•cosx的图象经过点P（
π
3
，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于-
3

③a=1是直线y=ax+1和直线y=（a-2）x-1垂直的充要条件．
④函数f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在区间（0，1）上存在零点．
⑤已知向量
a
=(1，-2)与向量
b
=(1，m)的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（-∞，
1
2
）
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
（已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．

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