Question

在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量

m

= (

3

，-1)，

n

=（cosA，sinA），若

m

⊥

n

，且acosB+bcosA=csinC，则A、B的大小分别是（　　）

• A．

  π

  6

  、

  π

  3

• B．

  2π

  3

  、

  π

  6

• C．

  π

  3

  、

  π

  6

• D．

  π

  3

  、

  π

  3

Answer 1

分析：由

m

•

n

=0可得sin（

π

3

-A）=0，从而求得A=

π

3

．再由acosB+bcosA=csinC利用正弦定理可得sin（

π

3

+B）=1，由此求得B的值．

解答：解：由题意可得

m

•

n

=(

3

，-1)•（cosA，sinA）=

3

cosA-sinA=2sin（

π

3

-A）=0，
再由A是三角形ABC的内角可得，0＜A＜π，∴

π

3

-A=0，故A=

π

3

．
再由acosB+bcosA=csinC可得sinA•cosB+sinBcosA=sin²C，
即

3

2

cosB+

1

2

sinB=sin2(

2π

3

-B)，即sin（

π

3

+B）=sin2(

π

3

+B)，
故sin（

π

3

+B）=1．
再由

π

3

＜

π

3

+B＜

2π

3

 可得

π

3

+B=

π

2

，B=

π

6

．
故选C．

点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理的应用，属于中档题．