题目内容
设数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当n∈N*时，an≤an+1．
（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的数列，使得不等式
+
+
+…+
＜
对于任意的n∈N*都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；
（Ⅱ）若bn=(1-
)
，其中n∈N*，且记数列{bn}的前n项和Bn，证明：0≤Bn＜2．
（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的数列，使得不等式
| ||
| a2 |
| ||
| a3 |
| ||
| a4 |
| ||
| an+1 |
| 3 |
| 2 |
（Ⅱ）若bn=(1-
| an |
| an+1 |
| 1 | ||
|
分析：（I）令
=1，
=
，
=
，…，
=
，则无穷数列{an}可由a1=1，an+1=3n-1an2（n≥1）给出，显然，该数列满足a1=1，an≤an+1（n∈N*），利用等比数列求和也满足条件；
（II）根据an≤an+1可得，∴bn≥0，则Bn=b1+b2+…+bn≥0，将bn=(1-
)
=
(
-
)转化成
(
-
)(
+
)≤2(
-
)，然后叠加可得结论．
| ||
| a2 |
| ||
| a3 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| a4 |
| 1 |
| 32 |
| ||
| an+1 |
| 1 |
| 3n-1 |
（II）根据an≤an+1可得，∴bn≥0，则Bn=b1+b2+…+bn≥0，将bn=(1-
| an |
| an+1 |
| 1 | ||
|
| an | ||
|
| 1 |
| an |
| 1 |
| an+1 |
(
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
|
| an |
| an+1 |
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
解答：（Ⅰ）解：令
=1，
=
，
=
，…，
=
，
则无穷数列{an}可由a1=1，an+1=3n-1an2（n≥1）给出．
显然，该数列满足a1=1，an≤an+1（n∈N*），
且
+
+…+
=1+
+…+
=
(1-
)＜
------------------（6分）
（Ⅱ）证明∵bn=(1-
)
，an≤an+1，∴bn≥0．
∴Bn=b1+b2+…+bn≥0．-------------------------（8分）
又bn=(1-
)
=
(
-
)
=
(
-
)(
+
)
=(
-
)(
+
)≤2(
-
)．
∴Bn≤2(
-
)＜
=2．
∴0≤Bn＜2．--------------------------------（14分）
| ||
| a2 |
| ||
| a3 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| a4 |
| 1 |
| 32 |
| ||
| an+1 |
| 1 |
| 3n-1 |
则无穷数列{an}可由a1=1，an+1=3n-1an2（n≥1）给出．
显然，该数列满足a1=1，an≤an+1（n∈N*），
且
| ||
| a2 |
| ||
| a3 |
| ||
| an+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3n-1 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3n |
| 3 |
| 2 |
（Ⅱ）证明∵bn=(1-
| an |
| an+1 |
| 1 | ||
|
∴Bn=b1+b2+…+bn≥0．-------------------------（8分）
又bn=(1-
| an |
| an+1 |
| 1 | ||
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| an | ||
|
| 1 |
| an |
| 1 |
| an+1 |
=
| an | ||
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| 1 | ||
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| 1 | ||
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| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
=(
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
|
| an |
| an+1 |
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
∴Bn≤2(
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 2 | ||
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∴0≤Bn＜2．--------------------------------（14分）
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及数列的函数特性和求和，同时考查了转化的思想和计算能力，属于中档题．
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，其中n∈N*，且记数列{bn}的前n项和Bn，证明：0≤Bn＜2．