Question

已知三次函数f（x）=ax³-x²+x在（0，+∞）存在极大值点，则a的范围是（　　）

• A．(0，

  1

  3

  )
• B．(0，

  1

  3

  ]
• C．(-∞，

  1

  3

  )
• D．(-∞，0)∪(0，

  1

  3

  )

Answer 1

分析：先求出f′（x）=3ax²-2x+1，由题意得到f′（x）=0有两个不同的正实数根或一正一负根，列出等价条件△＞0且a≠0，再进行求解．

解答：解：由题意知，f′（x）=3ax²-2x+1，
∵三次函数f（x）=ax³-x²+x在（0，+∞）存在极大值点，
∴f′（x）=3ax²-2x+1=0有两个不同的正实数根或一正一负根，
①当a＞0时，此时3ax²-2x+1=0有两个不同的正实数根，
∴

△=4-4×3a×1＞0 2 3a ＞0 1 3a ＞0

，即0＜a＜

1

3

，
②当a＜0时，此时3ax²-2x+1=0有一正一负根，
只须△＞0，即4-12a＞0，⇒a＜

1

3

，
∴a＜0
综上，则a的范围是(-∞，0)∪(0，

1

3

)
故选D．

点评：本题考查了导数与函数的单调性的关系，本题的易错点是容易忽略二次项的系数不为零．