题目内容

已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a，b，c，d∈R），命题p：y=f（x）是R上的单调函数；命题q：y=f（x）的图象与x轴恰有一个交点．则p是q的（　　）
分析：结合三次函数的图象，利用充分条件和必要条件的定义判断．
解答：解：因为三次函数的值域为R，所以若y=f（x）是R上的单调函数，则y=f（x）的图象与x轴恰有一个交点成立．
则当a＞0时，三次函数的极大值小于0或极小值大于0，y=f（x）的图象与x轴恰有一个交点，但此时函数不单调．
所以p是q充分不必要条件．
故选A．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握三次函数的图象．
练习册系列答案
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已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求实数t的最小值；
（Ⅲ）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．
19、已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
（I）求函数y=f（x）的表达式；
（II）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x-m）+4m（m＞0）在区间[m-3，n]上的值域为[-4，16]，试求m、n应满足的条件．
已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
（1）求函数f（x）的表达式； 
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）求函数在区间[-2，5]的最值．
精英家教网已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则
f′(-3)f′(1)
=
 
．

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