题目内容
设f0（x）=cosx，f1（x）=f0′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），x∈N，则f2011（x）=（ ）
分析：由已知，f0（x）=cosx，f1（x）=f0′（x）=-sinx，f2（x）=f1′（x）=-cosx，f3（x）=f2′（x）=sinx，f4（x）=f3′（x）=cosx，发现fn（x）以4为周期，结果循环出现，利用此规律将n=2011转化为n=3的情况求解．
解答：解：∵f0（x）=cosx，
∴f1（x）=f0′（x）=-sinx，
f2（x）=f1′（x）=-cosx，
f3（x）=f2′（x）=sinx，
f4（x）=f3′（x）=cosx
…
从第五项开始，fn（x）的解析式重复出现，每4次一循环．
∴f2011（x）=f4×502+3（x）=f3（x）=sinx，
故选C．
∴f1（x）=f0′（x）=-sinx，
f2（x）=f1′（x）=-cosx，
f3（x）=f2′（x）=sinx，
f4（x）=f3′（x）=cosx
…
从第五项开始，fn（x）的解析式重复出现，每4次一循环．
∴f2011（x）=f4×502+3（x）=f3（x）=sinx，
故选C．
点评：本题考查函数求导运算，由于f2011（x）中下标数值2011较大，所以探究fn（x）的周期性成为必要与自然．
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