Question

对于任意的实数a、b，记max．设F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中g（x）=，y=f（x）是奇函数．当x≥0时，y=f（x）的图象与g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（ ）

A．y=F（x）有极大值F（-1）且无最小值
B．y=F（x）为奇函数
C．y=F（x）的最小值为-2且最大值为2
D．y=F（x）在（-3，0）上为增函数

Answer 1

【答案】分析：先由图象观察求出当x＞0时的表达式f（x）=a（x-1）²-2，其中a＞0，不妨取a=1；因为函数f（x）是奇函数，所以当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（x+1）²+2．因此，，分别画出y=f（x）及y=g（x）的图象，即可得出函数y=F（x）的图象及表达式，进而可求出函数y=F（x）的有关性质．
解答：解：当x＞0时，由图象可知：函数y=f（x）是二次函数的一部分，并且知道顶点为（1，-2），不妨取a=1，可得f（x）=（x-1）²-2；
∵函数f（x）是R上的奇函数，∴当x＜0时，-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-（x+1）²+2；易知f（0）=0；
∴
分别画出y=f（x）及y=g（x）的图象，
①当x＞0时，由，解得x=；
②当x＜0时，由，解得；
由F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），可得函数F（x）的图象及表达式
F（x）=，
1°当x＞时，显然F（x）=（x-1）²-2单调递增，故此时无最大值；
2°当时，F（x）=单调递增，所以；
3°当时，F（x）=-（x+1）²+2，有F^′（x）=-2x-2，令F^′（x）=0，则x=-1，易知，当x=-1时，F（x）有极大值F（-1）；
4°当时，F（x）=单调递增，故F（x）．

综上可知：y=F（x）既无最大值，也无最小值，但有极大值F（-1），而在上单调递增，在[-1，0]上单调递减．
故应选A．
点评：本题考查了函数的奇偶性、分段函数的图象与性质及数形结合的思想方法．