题目内容

如图，已知椭圆C： $数学公式$ ，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
（1）是否存在k，使对任意m＞0，总有 $数学公式$ 成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若 $数学公式$ ，求实数k的取值范围．

解：（1）椭圆C： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，c=m，∴F（m，0），直线AB：y=k（x-m）， $\text{[math]}$ ，（10k²+6）x²-20k²mx+10k²m²-15m²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，
x₁x₂= $\text{[math]}$ ；则x_m= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在k，使AB为ON的中点，∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，
即N点坐标为 $\text{[math]}$ ．由N点在椭圆上，则 $\text{[math]}$
即5k⁴-2k²-3=0．∴k²=1或k²=- $\text{[math]}$ （舍）．故存在k=±1使 $\text{[math]}$ ．
（2） $\text{[math]}$ =x₁x₂+k²（x₁-m）（x₂-m）=（1+k²）x₁x₂-k²m（x₁+x₂）+k₂m²=（1+k²）• $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ≤-2m²，
即k²-15≤-20k²-12，k2≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，且k≠0．
分析：（1）椭圆C： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，c=m，F（m，0），直线AB：y=k（x-m），由 $\text{[math]}$ ，得（10k²+6）x²-20k²mx+10k²m²-15m²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），然后结合韦达定理进行求解．
（2） $\text{[math]}$ =x₁x₂+k²（x₁-m）（x₂-m）=（1+k²）x₁x₂-k²m（x₁+x₂）+k₂m²=（1+k²）•由此结合 $\text{[math]}$ ，能够导出实数k的取值范围．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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如图，已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆C₁：

+y²=1和C₂：

=1，判断C₂与C₁是否相似，如果相似则求出C₂与C₁的相似比，若不相似请说明理由；
（2）已知直线l：y=x+1，在椭圆C_b上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

如图，已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），抛物线P：x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，过F₂的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，与椭圆C相交于A、B两点，且

．
（1）求证：切线l的斜率为定值；
（2）若动点T满足：

的最小值为-

，求抛物线P的方程；
（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆离心率e的取值范围．

如图，已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，A（0，b），且

=-2过左焦点F₁作直线l交椭圆于P₁、P₂两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l的倾斜角a∈[

]，直线OP₁，OP₂与直线x=-

分别交于点S、T，求|ST|的取值范围．

如图，已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁（1，0）、F₂（-1，0），离心率为

，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）①求直线l的斜率k的取值范围；
②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF₁A和∠NF₁F₂是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．

（2012•梅州一模）如图，已知椭圆C：

+y²=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且

=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．