Question

矩形ABCD中，AB= ，BC=2，Q为AD的中点，将△ABQ、△CDQ沿BQ、CQ折起，使得AQ、DQ重合，记A、D重合的点为P．
（1）求二面角B﹣PQ﹣C的大小；
（2）证明PQ⊥BC；
（3）求直线PQ与平面BCQ所成的角的大小．

Answer 1

（1）解：在矩形ABCD中，AB⊥AQ，DC⊥DQ，
所以，在折起后，有PB⊥PQ，APC⊥PQ，
所以∠BPC就是所求的二面角的平面角．
因为 ，BC=2，
所以PB²+PC²=BC²，
即△PBC是直角三角形，所以∠BPC=90°． 
（2）证明：由已知可得△BCQ、△BCP都是等腰三角形，取BC中点M，连PM、QM，
则有PM⊥BC，QM⊥BC，
因为PM∩QM=M，PM平面PQM，QM平面PQM，
所以BC⊥平面PQM，
因为PQ平面PQM，
所以PQ⊥BC．
（3）解：由（2）知BC⊥平面PQM，而BC平面BCQ，
所以平面PQM⊥平面BCQ．
又平面PQM∩平面BCQ=QM，
所以，作PN⊥QM，
有PN⊥平面BCQ，
所以QN是PQ在平面BCQ内的射影，
所以∠PQN就是所求的角．
在等腰△BCQ中，QC= ，MC=1，所以得OM= ；
在等腰△BCP中，易得PM=1，
所以△PQM是等腰直角三角形，
于是∠PQN=∠PQM=45°．