Question

已知函数f(x)=log2

1+x

1-x

，（x∈（-1，1）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）先求定义域，看是否关于原点对称，再用定义判断．
（2）用单调性定义证明，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形，与0比较．

解答：解：（1）f(-x)=log2

1+(-x)

1-(-x)

=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f(x)
又x∈（-1，1），所以函数f（x）是奇函数
（2）设-1＜x＜1，△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=log2

1+x2

1-x2

-log2

1+x1

1-x1

=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

因为1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0所以

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1
所以△y=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0所以函数f(x)=log2

1+x

1-x

在（-1，1）上是增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性，证明奇偶性一般用定义，证明单调性可用定义或导数法．