Question

已知函数f(x)＝log_ax＋2x和g(x)＝2log_a(2x＋t－2)＋2x(a＞0，a≠1，t∈R)的图象在x＝2处的切线互相平行.(Ⅰ)求t的值；(Ⅱ)设F(x)＝g(x)－f(x)，当x∈[1，4]时，F(x)≥2恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ) t＝6.   (Ⅱ) 1＜a≤4

解析:

(Ⅰ)f??(x)＝log_ae＋2，g??(x)＝log_ae＋2，

∵函数f(x)和g(x)的图象在x＝2处的切线互相平行，

f??(2)＝g??(2)，∴log_ae＝log_ae，t＝6.

(Ⅱ)∵t＝6，∴F(x)＝g(x)－f(x)＝2log_a(2x＋4)－log_ax＝log_a，x∈[1，4]，

令h(x)＝＝4x＋，x∈[1，4]，∴h??(x)＝4－＝，x∈[1，4]，

∴当1≤x＜2时，h??(x)＜0，当2＜x≤4时，h??(x)＞0，

∴h(x)在[1，2)是单调减函数，在(2，4]是单调增函数，

∴h??(x)_min＝h(2)＝32，h??(x)_max＝h(1)＝h(4)＝36，

∴当0＜a＜1时，有F(x) _min＝log_a36，当a＞1时，有F(x) _max＝log_a32.

∵当x∈[1，4]时，F(x)≥2恒成立，∴F(x) _min≥2，

∴满足条件的a的值满足下列不等式组   ①，或   ②

不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a≤4，

综上所述，满足条件的的取值范围是：1＜a≤4.