题目内容

已知椭圆E： $数学公式$ 的一个交点为 $数学公式$ ，而且过点 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A₁，A₂，P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

（Ⅰ）解法一：由题意，∵椭圆E： $\text{[math]}$ 的一个交点为 $\text{[math]}$ ，
∴a²-b²=3，①
∵椭圆过点 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ，②
①②解得a²=4，b²=1，
所以椭圆E的方程为 $\text{[math]}$ ．…（4分）
解法二：椭圆的两个焦点分别为 $\text{[math]}$ ，
由椭圆的定义可得 $\text{[math]}$ ，所以a=2，b²=1，
所以椭圆E的方程为 $\text{[math]}$ ．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），
直线PA₁： $\text{[math]}$ ，令y=0，得 $\text{[math]}$ ；
直线PA₂： $\text{[math]}$ ，令y=0，得 $\text{[math]}$ ；
设圆G的圆心为 $\text{[math]}$ ，
则r²= $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）
解法二：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），
直线PA₁： $\text{[math]}$ ，令y=0，得 $\text{[math]}$ ；
直线PA₂： $\text{[math]}$ ，令y=0，得 $\text{[math]}$ ；
则 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，由切割线定理得OT²=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）
分析：（Ⅰ）解法一：根据椭圆E： $\text{[math]}$ 的一个交点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ ，可得a²-b²=3， $\text{[math]}$ ，联立即可求得椭圆E的方程；
解法二：椭圆的两个焦点分别为 $\text{[math]}$ ，利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），求出 $\text{[math]}$ ，同 $\text{[math]}$
设圆G的圆心为 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ ，即可得到线段OT的长度；
解法二：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，由切割线定理可得线段OT的长度．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆为综合，考查线段长的求解，认真审题，挖掘隐含是关键．