Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，，点为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若直线与底面所成的角为，求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取PA中点Q，连结QD，QE，推导出四边形CDQE是平行四边形，CE∥QD，由此能证明CE∥平面PAD．
（2）连结BD，取BD中点O，连结EO，CO，推导出∠ECO是直线CE与底面ABCD所成的角，∠ECO=45°，由VP-ABCD=S底面ABCDPD，能求出四棱锥P-ABCD的体积．

（1）取中点，连接，，

则，且，

所以，且，

即四边形为平行四边形，，

又因为平面，平面，（两条件各1分）

所以平面.

（2）连接，取中点，连接，，

则，且，

因为平面，所以平面，

则为在平面上的射影，

即为直线与底面所成的角，，

在等腰直角三角形中，，则，

则在中，，，

，

所以，

所以，

所以四棱锥的体积为.