题目内容
已知函数f（x）=2
sin
cos
-2sin2
．
（I）求f（x）的图象的对称中心坐标；
（II）在△ABC中，A、B、C所对边分别为，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA．
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
（I）求f（x）的图象的对称中心坐标；
（II）在△ABC中，A、B、C所对边分别为，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA．
分析：（I）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的对称中心即可确定出f（x）的图象的对称中心坐标；
（II）由f（C）=1，利用第一问确定的函数解析式求出C的度数为
，利用勾股定理列出关系式，将已知等式代入，利用正弦定理化简即可求出sinA的值．
（II）由f（C）=1，利用第一问确定的函数解析式求出C的度数为
| π |
| 2 |
解答：解：（I）f（x）=
sin
+cos
-1=2sin（
+
）-1，
令
+
=kπ（k∈Z），得x=
-
，此时f（x）=-1，
则f（x）的图象的对称中心坐标为（
-
，-1）（k∈Z）；
（II）在△ABC中，由f（C）=1，得到2sin（
+
）-1=1，即sin（
+
）=1，
∴
+
=
，即C=
，
∵b2=ac，∴c2=a2+b2=a2+ac，
利用正弦定理化简得：sin2C=sin2A+sinAsinC，即sin2A+sinA-1=0，
解得：sinA=
．
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 6 |
令
| 2x |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3kπ |
| 2 |
| π |
| 4 |
则f（x）的图象的对称中心坐标为（
| 3kπ |
| 2 |
| π |
| 4 |
（II）在△ABC中，由f（C）=1，得到2sin（
| 2C |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2C |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴
| 2C |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∵b2=ac，∴c2=a2+b2=a2+ac，
利用正弦定理化简得：sin2C=sin2A+sinAsinC，即sin2A+sinA-1=0，
解得：sinA=
| ||
| 2 |
点评：此题考查了正弦定理、余弦定理，正弦函数的对称性，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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