Question

已知函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[e^-1-1，e-1]时不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，再求得函数f（x）的导函数f′（x），通过对f'（x）＞0与f'（x）＜0的分析，可求得f（x）的单调区间
（2）不等式f（x）＜m恒成立，只需f（x）max＜m即可．转化为求f（x）max．

解答：解：（1）函数的定义域为（-1，+∞）．
∵f′（x）=2（1+x）-2•

1

1+x

=

2x(x+2)

x+1

由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得-1＜x＜0，∴f（x）的单调递增区间是（0，+∞），单调递减区间是（-1，0）．
（2）由f′（x）=0得x=0，由（1）知f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
又f（

1

e

-1）=

1

e2

+2，f（e-1）=e²-2，且e²-2＞

1

e2

+2，
所以当x∈[e^-1-1，e-1]时，f（x）的最大值为e²-2，
故当m＞e²-2是不等式恒成立．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，着重考查导数与单调性间的关系及应用，属于中档题