题目内容

已知函数f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）在 $数学公式$ 上的最大值；
（2）当函数f（x）在 $数学公式$ 单调时，求a的取值范围．

解：（1）a=3时， $\text{[math]}$ ，
∵当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0，当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在 $\text{[math]}$ 最大值是f（1）=2，…（5分）
（2） $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
则函数g（x）在 $\text{[math]}$ 递减，在 $\text{[math]}$ 递增，
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故函数g（x）在 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ．
若f'（x）≤0在 $\text{[math]}$ 恒成立，即 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 恒成立，只要 $\text{[math]}$ ，
若要f'（x）≥0在在 $\text{[math]}$ 恒成立，即 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 恒成立，
只要 $\text{[math]}$ ．
即a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）求导函数，确定函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上的单调性，从而可f（x）在 $\text{[math]}$ 上的最大值；
（2）函数f（x）在 $\text{[math]}$ 单调，等价于f'（x）≤0在 $\text{[math]}$ 恒成立，或f'（x）≥0在在 $\text{[math]}$ 恒成立，利用分离参数法，求出函数的最值即可．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，解题的关键是利用导数确定函数的单调性．