Question

已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y-2=0，在直线l上求一点P．
（1）使|PA|+|PB|最小；
（2）使|PA|-|PB|最大．

Answer 1

分析：先判断A、B与直线l：x+2y-2=0的位置关系，即把点的坐标代入x+2y-2，看符号相同在同侧，相反异侧．
（1）使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P；
如果A、B在l的异侧，则直接连线求交点P即可．
（2）使|PA|-|PB|最大．如果A、B在l的同侧，则直接连线求交点P即可；
如果A、B在l的异侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P．

解答：解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A₁的坐标为（x₁，y₁）．
则有

x1+2

2

+2•

y1+3

2

-2=0，

y1-3

x1-2

•（-

1

2

）=-1．
解得
x₁=-

2

5

，
y₁=-

9

5

．
由两点式求得直线A₁B的方程为y=

7

11

（x-4）+1，直线A₁B与l的交点可求得为P（

56

25

，-

3

25

）．
由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小．
（2）由两点式求得直线AB的方程为y-1=-（x-4），即x+y-5=0．
直线AB与l的交点可求得为P（8，-3），它使|PA|-|PB|最大．

点评：本题考查点与直线的位置关系，直线关于直线对称问题，以及平面几何知识，是中档题．