Question

【题目】如图所示，四棱锥中， 平面， ， ， ， 为线段上一点， ， 为线段上一点， .

（1）证明： 平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) .

【解析】试题分析：证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，进而说明线面平行；本题借助平行四边形可以得到线线平行，进而证明线面平行；第二步求线面角，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，借助空间向量，求法向量，利用公式求角.

试题解析：

（Ⅰ）证明：由已知得，如图，取上靠近的四等分点，连接，

由知， ．

又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是．

因为平面， 平面，所以平面．

（Ⅱ）解：如图，取的中点，连接．

由得，从而，且．

以为坐标原点， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

由题意知， ， ， ， ， ，

， ， ．

设为平面的一个法向量，

则即

可取．于是，

所以直线与平面所成角的正弦值为．