Question

（1）已知a＞b＞1，log_ab+log_ba=

10

3

，求log_ab-log_ba的值．
（2）已知函数y=ax²-3x+3，当x∈[1，3]时有最小值8，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由对数的运算性质log_ab•log_ba=1及a＞b＞1，不难求出log_ab及log_ba的值，代入即可求出log_ab-log_ba的值．
（2）求二次函数在定区间上的最值，关键是要分析定区间也函数对称轴的关系，并结合函数的单调性进行分类讨论．

解答：解：（1）∵log_ab•log_ba=1
∴log_ab=

1

logba

又∵a＞b＞1，
∴log_ba＞1
由log_ab+log_ba=

10

3

得log_ba+

1

logba

=

10

3

解得：log_ba=3
∴log_ab=

1

logba

=

1

3

∴log_ab-log_ba=-

8

3

（2）若a=0，则y=-3x+3，在函数在区间[1，3]的最小值为-6，不符合条件．
若a＜0，则函数y=ax²-3x+3图象的开口方向朝下，且对称轴x=

3

2a

＜0，
此时函数y=ax²-3x+3在区间[1，3]的最大值小于3，故其最小值不可能是8，不符合条件
若a＞0，则函数y=ax²-3x+3图象的开口方向朝上，且对称轴x=

3

2a

＞0，
当

3

2a

≥3，即0＜a≤

1

2

时，y的最小值在x=3处取到，最小值为9a-6，令9a-6=8，得a=

14

9

，不符合条件
当1＜

3

2a

＜3，即

1

2

＜a＜

3

2

时，y的最小值在为3-

9

4a

＜8，不符合条件
当

3

2a

≤1，即a≥

3

2

时，y的最小值在x=1处取到，其值为a，令a=8解得a=8
综上知，当x∈[1，3]时有最小值8时，a的值为8

点评：二次函数y=ax²+bx+c，在定区间[m，n]上，[1]当m≥-

b

2a

时，对称轴在区间左侧，f （x）在[m，n]上递增，则f （x）的最大值为f （n），最小值为f （m）；[2]当n≤-

b

2a

时，对称轴在区间右侧，f （x） 在[m，n]上递减，，则f （x）的最大值为f （m），最小值为f（n）；[3]当-

b

2a

∈（m，n）时，则f（x）的最小值为f （-

b

2a

）；在[m，-

b

2a

]上函数f （x）递减，则f （x）的最大值为f （m），在[-

b

2a

，n]上函数f （x）递增，则f （x）的最大值为f （n），比较f （m）与f （n）的大小即得．