题目内容

已知 $数学公式$ 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，则下列结论正确的是

A.
展开式中共有八项
B.
展开式中共有四项为有理项
C.
展开式中没有常数项
D.
展开式中共有五项为无理项

C
分析：由题意通过前三项系数的绝对值依次成等差数列，求出n的值，然后判断二项式的项数，有没有有理项，常数项，是否存在展开式中共有五项为无理项，得到结果．
解答：已知 $\text{[math]}$ 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
所以 $\text{[math]}$ ，解得n=8，
展开式中共有九项，A不正确；
展开式的第k+1项为C^k₈（ $\text{[math]}$ ）^8-k（- $\text{[math]}$ ）^k
=（- $\text{[math]}$ ）^kC^k₈•x $\text{[math]}$ •x- $\text{[math]}$ =（-1）^k•C^k₈•x $\text{[math]}$ ．
若第k+1项为常数项，
当且仅当 $\text{[math]}$ =0，即3k=16，
∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．C正确；
若第k+1项为有理项，当且仅当 $\text{[math]}$ 为整数，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展开式中的有理项共有三项，它们是：
T₁=x⁴，T₅= $\text{[math]}$ x，T₉= $\text{[math]}$ x^-2．所以展开式中共有四项为有理项，不正确．
展开式中共有五项为无理项．显然不正确．
故选C．
点评：本题是中档题，考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，考查计算能力，常考题型．