Question

设函数f（x）=x²+bx-3，对于给定的实数b，f（x）在区间[b-2，b+2]上有最大值M（b）和最小值m（b），记g（b）=M（b）-m（b）．
（1）求g（b）的解析式；
（2）问b为何值时，g（b）有最小值？并求出g（b）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的二次函数的性质，写出对于对称轴所在的区间不同时，对应的函数的最大值、最小值，即可求得函数g（b）的解析式；
（2）根据（1）求得的结果，利用二次函数在定区间上的最值的求法，以及分段函数求最值的方法即可求得结果．

解答：解：（1）f(x)=(x+

b

2

)2-3-

b2

4

，抛物线开口向上，其对称轴方程为x=-

b

2

，下面就对称轴与区间[b-2，b+2]端点的相对位置分段讨论：
①当0≤b≤

4

3

时，b-2≤-

b

2

≤b+2且(b+2)-(-

b

2

)≥-

b

2

-(b-2)，
此时M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m(b)=-3-

b2

4

．g(b)=

9

4

b2+6b+4．
②当-

4

3

≤b＜0时，b-2≤-

b

2

≤b+2且(b+2)-(-

b

2

)≤-

b

2

-(b-2)，
此时M（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，m(b)=-3-

b2

4

．g(b)=

9

4

b2-6b+4．
③当b＞

4

3

时，-

b

2

＜b-2，f（x）在区间[b-2，b+2]上递增，
此时M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m（b）=f（b-2）=2b²-6b+1．g（b）=12b．
④当b＜-

4

3

时，-

b

2

＞b+2，f（x）在区间[b-2，b+2]上递减，
此时M（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，m（b）=f（b+2）=2b²+6b+1．g（b）=-12b．
综上所得g(b)=

-12b，b＜- 4 3 9 4 b2-6b+4，- 4 3 ≤b＜0 9 4 b2+6b+4，0≤b≤ 4 3 12b，b＞ 4 3

（2）当b＜-

4

3

时，g(b)=-12b＞g(-

4

3

)=16；
当-

4

3

≤b＜0时，g(b)=

9

4

b2-6b+4递减，g（b）＞g（0）=4；
当0≤b≤

4

3

时，g(b)=

9

4

b2+6b+4递增，g（b）≥g（0）=4；
当b＞

4

3

时，g(b)=12b＞g(

4

3

)=16．
综上所述，当b=0时，[g（b）]_min=4．

点评：本题看出二次函数的性质，针对于函数的对称轴是一个变化的值，需要对对称轴所在的区间进行讨论，本题是一个综合题目，是一个易错题．属中档题．