Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)过点(1，  

3

2

)，且离心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P是椭圆C上一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积S．

Answer 1

分析：（I）由椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

可得a=2c，从而可设出椭圆的标准方程，再将点(1，  

3

2

)的坐标代入可得求得答案．
（II）利用椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，又|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=60°，利用余弦定理可求得|PF₁|•|PF₂|，从而可求得△F₁PF₂的面积．

解答：解：（I）由e=

c

a

=

1

2

，可得a=2ca，因此设椭圆方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
将点(1，  

3

2

)的坐标代入可得c²=1，
∴所求方程是：

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）∵P是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1．上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，∠F₁PF₂=60°，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，|F₁F₂|=2，
在△F₁PF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂
=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
=16-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|×

1

2

=16-3|PF₁|•|PF₂|=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=4，
∴S△F₁PF₂=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin60°=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

点评：本题考查椭圆的简单性质与标准方程，考查待定系数法，考查余弦定理与三角形的面积，属于中档题．