题目内容

已知函数f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，
π
2
]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x0）=
6
5
，x0∈[
π
4
，
π
2
]，求cos2x0的值．
（1）由f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x-1，得
f（x）=
3
（2sinxcosx）+（2cos2x）-1）=
3
sin2x+cos2x=2sin（2x+
π
6
）
所以函数f（x）的最小正周期为π．
因为f（x）=2sin（2x+
π
6
）在区间[0，
π
6
]上为增函数，在区间[
π
6
，
π
2
]上为减函数，
又f（0）=1，f（
π
6
）=2，f（
π
2
）=-1，所以函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值为2，最小值为-1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+
π
6
）
又因为f（x0）=
6
5
，所以sin（2x0+
π
6
）=
3
5

由x0∈[
π
4
，
π
2
]，得2x0+
π
6
∈[
2π
3
，
7π
6
]
从而cos（2x0+
π
6
）=-
1-sin2(2x0+
π
6
)
=-
4
5
．
所以
cos2x0=cos[（2x0+
π
6
）-
π
6
]=cos（2x0+
π
6
）cos
π
6
+sin（2x0+
π
6
）sin
π
6
=
3-4
3
10
．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=2-
1
x
，（x＞0），若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），则实数m的取值范围是（　　）
已知函数f（x）=2+log0.5x（x＞1），则f（x）的反函数是（　　）
已知函数f（x）=2（m-1）x2-4mx+2m-1
（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个不同的交点；
（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值．
（2013•上海）已知函数f（x）=2-|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．
选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=2|x-2|-x+5，若函数f（x）的最小值为m
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求实数a的取值范围．

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