Question

若函数f（x）=lg（ax²+ax+1）的值域为R，则a的取值范围是

[4，+∞）

．

Answer 1

分析：函数f（x）=lg（ax²+ax+1）的值域为R，就是g（x）=ax²+ax+1的值域为[0，+∞），分a=0与a≠0两种情况讨论即可．

解答：解：∵f（x）的值域为R，令g（x）=ax²+ax+1，
∴g（x）=ax²+ax+1的值域为[0，+∞），
①当a=0时，g（x）=1∴a≠0
②当a≠0时，g(x)=a(x+

1

2

)2+1-

a

4

∴a＞0 ，  1-

a

4

≤0∴a≥4
故a的取值范围为[4，+∞）．

点评：本题考查二次函数的性质，难点在于对g（x）=ax²+ax+1的值域为[0，+∞）的理解与应用，常与函数f（x）=lg（ax²+ax+1）的定义域为R相混淆，也是易错点，属于中档题．