Question

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（e是自然对数的底数，a为常数）是实数集R上的奇函数，若函数g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）在（0，+∞）上有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A．（

  1

  e

  ，e²+

  1

  e

  ）
• B．（0，e²+

  1

  e

  ）
• C．（e²+

  1

  e

  ，+∞）
• D．（-∞，e²+

  1

  e

  ）

Answer 1

分析：由f（x）=ln（e^x+a）是R上的奇函数，可得f（0）=0，从而可求a的值，由g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）=0，得

lnx

f(x)

=x²-2ex+m，然后构造函数，利用导数确定函数的最值，即可得到结论．

解答：解：∵函数f（x）=ln（e^x+a）是实数集R上的奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=ln（1+a）=0，解得a=0，即f（x）=lne^x=x．
∴g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）=lnx-x（x²-2ex+m），
由g（x）=lnx-x（x²-2ex+m）=0，得

lnx

x

=x²-2ex+m，
设h（x）=

lnx

x

，m（x）=x²-2ex+m，
则m（x）=（x-e）²+m-e²≥m-e²，
h'（x）=

1-lnx

x2

，由h'（x）＞0，得0＜x＜e，此时函数单调递增，
由h'（x）＜0，得x＞e，此时函数单调递减，
∴当x=e时，函数h（x）取得最大值h（e）=

lne

e

=

1

e

，
要使g（x）=lnx-f（x）（x²-2ex+m）在（0，+∞）上有两个零点，
则

1

e

＞m-e2，即m＜

1

e

+e2．
故选D．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，函数零点的判断和应用，利用构造法将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，注意利用数形结合的思想去解决．