Question

（2012•鹰潭模拟）设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2an-Sn=1，  n∈N*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在数列{a_n}的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{b_n}，在a_n和a_n+1两项之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，求b₂₀₁₂的值；
（3）对于（2）中的数列{b_n}，若b_m=a_n，并求b₁+b₂+b₃+…+b_m（用n表示）．

Answer 1

分析：（1）2a_n+1-S_n+1=1与2a_n-S_n=1相减，可得数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a_n和a_n+1两项之间插入n个数后，可求得dn=

an+1-an

n+1

=

2n-1

n+1

，又（1+2+3+…+61）+61=1952，2012-1952=60，从而可求b₂₀₁₂的值；
（3）依题意，b₁+b₂+b₃+…+b_m=

1

2

[3a1+5a2+7a3+…+(2n+1)an]-

1

2

nan，考虑到a_n+1=2a_n，令M=3a₁+5a₂+7a₃+…+（2n+1）a_n，则2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+（2n+1）a_n+1，求出M=（2n-1）2ⁿ+1，即可得到结论．

解答：解：（1）当n=1时，2a₁-S₁=1，∴a₁=1．
又2a_n+1-S_n+1=1与2a_n-S_n=1相减得：a_n+1=2a_n，故数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an=2n-1；…（4分）
（2）设a_n和a_n+1两项之间插入n个数后，这n+2个数构成的等差数列的公差为d_n，则dn=

an+1-an

n+1

=

2n-1

n+1

，
又（1+2+3+…+61）+61=1952，2012-1952=60，
故b2012=a62+(60-1)•d62=261+59×

261

63

=

61

63

×262．…（9分）
（3）依题意，b₁+b₂+b₃+…+b_m=

3(a1+a2)

2

+

4(a2+a3)

2

+

5(a3+a4)

2

+…+

(n+1)(an-1+an)

2

-(a2+a3+…+an-1)=

1

2

[3a1+5a2+7a3+…+(2n+1)an]-

1

2

nan，
考虑到a_n+1=2a_n，令M=3a₁+5a₂+7a₃+…+（2n+1）a_n，则2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+（2n+1）a_n+1
∴2M-M=-2（a₁+a₂+a₃+…+a_n）-a₁+（2n+1）a_n+1
∴M=（2n-1）2ⁿ+1，
所以b1+b2+b3+…+bm=

1

2

M-

1

2

nan=(3n-2)•2n-2+

1

2

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，正确理解题意，选择正确的方法是关键．