Question

已知函数f（x）=axlnx，，其中a∈R．
（1）令，试讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的，总有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，试求实数a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用导数的运算法则求出h^′（x），通过分类讨论a即可得出其单调性；
（2）由已知对任意的，总有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，即f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂），令，可得y=F（x）在区间（e，e²）上为增函数．于是F'（x）=alnx+x-1≥0，对x∈（e，e²）恒成立，通过分离参数，利用导数求出最值即可．
解答：解：（1）∵，（x＞0）．
∴．
①当a≤0时，f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）；
②当0＜a＜1时，f（x）的递增区间为（0，a），（1，+∞），递减区间为（a，1）；
③当a=1时，f（x）的递增区间为（0，+∞）；
④当a＞1时，f（x）的递增区间为（0，1），（a，+∞），递减区间为（1，a）．
（2）对任意的，总有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）成立，
即f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂）
令，
由题意得y=F（x）在区间（e，e²）上为增函数．
∴F'（x）=alnx+x-1≥0，对x∈（e，e²）恒成立，
所以对x∈（e，e²）恒成立，
令，
则，
所以ϕ（x）在区间（e，e²）上单调递减，
所以ϕ（x）＜ϕ（e）=1-e，
所以a≥1-e． 
所以a≥1-e． …（10分）
点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、恒成立问题转化为求最值问题等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、分析问题和解决问题的能力、推理能力与计算能力．