Question

设命题P：函数y=log_a（x+1）在（0，+∞）为减函数．命题Q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴有两个不同的交点．若“P且Q”为假，“P或Q”为真，求a的范围．

Answer 1

分析：当P为真时，0＜a＜1．当Q为真时，a＞

5

2

或a＜

1

2

．当P为真、Q为假时，求出a的范围；当P为假、Q为真时，
求出a的范围，把这几个a的范围取并集即得所求．

解答：解：当P为真时，0＜a＜1．当Q为真时，△=（2a-3）²-4＞0，即 a＞

5

2

或a＜

1

2

．
∵“P且Q”为假，“P或Q”为真，∴P与Q必是一真一假．
当P为真、Q为假时，则有  

0＜a＜1   1 2 ≤a≤ 5 2

，解得

1

2

≤a＜1．
当P为假、Q为真时，则有 

a≥1或a≤0   a＞ 5 2 ， 或a＜ 1 2

，解得a＞

5

2

 或a≤0．
综上可得

1

2

≤a＜1或a≤0或a＞

5

2

．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，复合命题的真假，二次函数的性质，属于中档题．