Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，P为A₁C₁的中点，AB=BC=kPA，
(1)当k=1时，求证：PA⊥B₁C；
(2)当k=且AB=2时，求三棱锥A-PBC的体积．

Answer 1

(1)证明：连接B₁P，∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P为A₁C₁的中点，A₁B₁=B₁C₁，
∴B₁P⊥面A₁C，∴B₁P⊥AP，
又∵当k=1时， AB=BC=PA=PC，
∴∠ABC=∠APC=90°，
∴AP⊥PC，∴AP⊥平面B₁PC，
∴PA⊥B₁C。 
(2)解：V_A-PBC=V_P-ABC，取线段AC的中点M，连接PM，则PM为三棱锥的高，
∵AB=2，
∴PA=4，AC=2，AM=，
所以PM=，
∴V_A-PBC=V_P-ABC=。