题目内容

已知函数f(x)=
lnx
x
，则下列命题正确的是（　　）
A．对任意a＞
1
e
，方程f（x）=a只有一个实根
B．对任意a＜
1
e
，方程f（x）=a总有两个实根
C．对任意a＜
1
e
，总存在正数x，使得f（x）＞a成立
D．对任意a＜
1
e
和正数x，总有f（x）＞a成立
由于函数f(x)=
lnx
x
，则f′(x)=
1-lnx
x2
（x＞0）
令f ′(x)=0，则1-lnx=0，解得x=e，
当0＜x＜e时，f ′(x)＞0即函数f(x)=
lnx
x
在区间（0，e）上为增函数，
当x＞e时，f ′(x)＜0即函数f(x)=
lnx
x
在区间（e，+∞）上为减函数．
则函数在x=e时取得最大值，此时f(x)=f(e)=
1
e
，故C正确
故答案为C．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函数f（x）在P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，求实数a，b的值：
（2）当a＜3时，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．
已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b
（1）求出函数y=f（x）的表达式和切线l的方程；
（2）当x∈[
1
e
，e]时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a为常数），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（1）求直线l的方程及a的值；
（2）当k＞0时，试讨论方程f（1+x2）-g（x）=k的解的个数．
已知函数f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．
已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b为实数，x∈R，a∈R．
（1）当1＜a＜2时，若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（3）试讨论函数F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的极值点的个数．

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