Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）（理）求二面角A₁-DE-B的大小．
（文）异面直线A₁C与AB所成的角．

Answer 1

解：
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D-xyz．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．
，．
（Ⅰ）因为，，A₁C⊥BD，A₁C⊥DE．
又DB∩DE=D，
所以A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）（理）设向量n=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，则，．
故2y+z=0，2x+4z=0．
令y=1，则z=-2，x=4，n=（4，1，-2）．等于二面角A₁-DE-B的平面角，．
所以二面角A₁-DE-B的大小为．
（文）
∴
∴异面直线A₁C与AB所成的角为．
分析：（Ⅰ）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-xyz．用坐标表示向量，从而可证，，故有A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）先求平面的法向量，利用向量n=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，则，．再用向量的夹角公式求解即可
（文）再用向量的夹角公式求解即可求异面直线A₁C与AB所成的角．
点评：本题以正四棱柱为载体，考查线面位置关系，考查线线角，面面角，关键是构建空间直角坐标系．