Question

已知函数f（x）=4sin²（

π

4

+x）-2

3

cos2x-1，且

π

4

≤x≤

π

2

．
①求f（x）的最大值及最小值；
②求f（x）的在定义域上的单调递减区间．

Answer 1

分析：①f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最大与最小值；
②根据x的范围，以及正弦函数的单调性即可求出f（x）的单调减区间．

解答：解：①f（x）=4×

1-cos( π 2 +2x)

2

-2

3

cos2x-1=2sin2x-2

3

cos2x+1=4sin（2x-

π

3

）+1，
∵

π

4

≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
则f（x）_max=5，f（x）_min=3；
②由

π

2

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，解得：

5π

12

≤x≤

π

2

，
则f（x）的单调递减区间为[

5π

12

，

π

2

]．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．