Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c，且f（1+x）=f（1-x），f（0）=-1．
（1）求该函数的解析式；
（2）求f（x）在[-1，2]上的值域；
（3）求f（x）在[t，t+2]上最小值．

Answer 1

分析：（1）根据条件分别求出b，c，
（2）利用二次函数的图象和性质即可求出函数的值域，
（3）讨论对称轴和区间[t，t+2]的关系，即可求出函数的最小值．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x²+bx+c，f（0）=-1．
∴f（0）=c=-1，
∵f（1+x）=f（1-x），
∴对称轴x=1，即-

b

2

=1，
即b=-2．
∴f（x）=x²-2x-1．
（2）∵f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴对称轴为x=1，
∵x∈[-1，2]，
∴当x=1时，函数取得最小值-2，
当x=-1时，函数取得最大值f（-1）=2，
故-2≤f（x）≤2，
即函数的值域为[-2，2]．
（3）∵f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴对称轴为x=1，
①若t≥1，则函数f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴最小值为f（t）=t²-2t-1．
②若t+2≤1，即t≤-1，则函数f（x）在[t，t+2]上单调递减，∴最小值为f（t+2）=（t+1）²-2．
③若-1＜t＜1，此时当x=1时，函数取得最小值f（1）=-2．
故f_min（x）=

t2-2t-1，t≥1 -2，  -1＜t＜1 t2+2t-1，t≤-1

．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键，利用配方法，结合对称轴和定义区间的关系即可求函数的最值．