题目内容

设点P在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，直线l的方程为x=-
a2
c
，且点F的坐标为（-c，0），作PQ⊥l于点Q，若P，F，Q三点构成一个等腰直角三角形，则椭圆的离心率e=______．
设P（x0，y0 ），由题意可得 QF=FP=a+
c
a
x0，且 PQ=
2
 PF，
∴
2
 （a+
c
a
x0 ）=x0+
a2
c
，解得 x0=
2
a2c-a3
ac-
2
c2
，∴|y0|=-c+
a2
c
=
b2
c
，
把P（x0，y0 ） 代入椭圆的方程可得 
(
2
a2c-a3
ac-
2
c2
)
a2
2+
(
b2
c
)2
b2
=1，解得
c2
a2
=
1
2
，
∴e=
c
a
=
2
2
，
故答案为
2
2
．
练习册系列答案
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设点P在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，直线l的方程为x=-
a2
c
，且点F的坐标为（-c，0），作PQ⊥l于点Q，若P，F，Q三点构成一个等腰直角三角形，则椭圆的离心率e=
 
．
已知椭圆Γ的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）为Γ的三个顶点．
（1）若点M满足
AM
=
1
2
(
AQ
+
AB
)，求点M的坐标；
（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=-
b2
a2
，证明：E为CD的中点；
（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足
PP1
+
PP2
=
PQ
PP1
+
PP2
=
PQ
？令a=10，b=5，点P的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点P1、P2满足
PP1
+
PP2
=
PQ
，求点P1、P2的坐标．
已知圆Mx2+y2-2tx-6t-10=0，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），若椭圆C与x轴的交点A（5，y0）到其右准线的距离为
10
3
；点A在圆M外，且圆M上的点和点A的最大距离与最小距离之差为2．
（1）求圆M的方程和椭圆C的方程；
（2）设点P为椭圆C上任意一点，自点P向圆M引切线，切点分别为A、B，请试着去求
P
A•
P
B的取值范围；
（3）设直线系M：xcosθ+（y-3）sinθ=1（θ∈R）；求证：直线系M中的任意一条直线l恒与定圆相切，并直接写出三边都在直线系M中的直线上的所有可能的等腰直角三角形的面积．
已知椭圆Γ的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）为Γ的三个顶点．
（1）若点M满足
AM
=
1
2
(
AQ
+
AB
)，求点M的坐标；
（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=-
b2
a2
，证明：E为CD的中点；
（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足
PP1
+
PP2
=
PQ
PP1
+
PP2
=
PQ
？令a=10，b=5，点P的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点P1、P2满足
PP1
+
PP2
=
PQ
，求点P1、P2的坐标．

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